Rentenbarwertfaktor –  Erklärung & Berechnung

Rente

Was der Rentenbarwert einer vorschüssigen Rente ist, wie er sich zusammensetzt und wie man ihn berechnen kann. (Foto: Rawpixel.com/AdobeStock)

Das Wichtigste zum Rentenbarwert

Definition: Kapital, das investiert werden muss, um eine bestimmte Rente zu erzielen

Vorgegebene Größen: Zinssatz, Laufzeit, Rentenhöhe, vorschüssig/nachschüssig

Vorschüssig/Nachschüssig: Rentenzahlung jeweils am Anfang/Ende der Periode

Rentenbarwertfaktor: Faktor, mit dem man eine Rente multiplizieren muss, um den Barwert zu erhalten


Renten und Anleihen haben etwas gemeinsam: Der Investor setzt einen Kapitalbetrag ein, um über einen längeren Zeitraum einen gleichbleibenden Zinsertrag zurückzuerhalten. Die grundlegenden finanzmathematischen Fragen, die sich bei diesem Investitionstyp stellen, lauten:

  1. Wie viel Kapital muss ich einsetzen, um während eines bestimmten Zeitraums eine bestimmte jährliche Rente / Zinszahlung zu erhalten? Diese Frage beantwortet er mit der Rentenbarwert-Berechnung
  2. Wie viel jährliche Rente / Zinszahlung kriege ich, wenn ich einen bestimmten Betrag während eines bestimmten Zeitraums investiere? Die Antwort auf diese Frage ist die Annuitäten-Berechnung.

In diesem Artikel behandeln wir beide Fragen. Denn die Antwort ist in beiden Fällen dieselbe: Der Rentenbarwert-Faktor ist zugleich der Annuitäten-Faktor, wie wir sehen werden.

Rentenbarwert: Was ist das?

Der Barwert – auch „Gegenwartswert genannt, ist der heutige Wert von zukünftigen Zahlungen unter Annahme einer bestimmten Verzinsung. Anders ausgedrückt: Wenn eine Anlage einen festen Rückfluss in Form von Zinsen, Renten usw. vorsieht, dann stellt der Barwert den heutigen Wert der Anlage unter Berücksichtigung der noch zu erwartenden Rückflüsse dar. Dem Barwert gegenüber steht der Endwert. Der Endwert ist der Wert des Kapital am Ende der Anlagedauer, also der zukünftige Wert unter Annahme einer gewissen Verzinsung.

Was ist der Barwert einer Rente?

Bei einer Zeitrente ist während eines bestimmten Zeitraumes eine periodische – zum Beispiel jährliche – Rentenzahlung (= Periodenzahlung) vereinbart worden. Der Barwert der Rente ist der momentane Wert unter Berücksichtigung der noch zu erwartenden Rentenzahlungen.

So wird der Rentenbarwert berechnet

Die Rentenrechnung

Wenn man 100.000 Euro einzahlt und dann fünf Jahre lang jedes Jahr 20.000 Euro zurück­holt, ist das Konto nach fünf Jahren leer. Korrekt? Nein – jedenfalls dann nicht, wenn das Kapital verzinst wird. In diesem Fall ist die Rechnung komplizierter. Denn derjenige Teil des Kapitals, der noch nicht zurückbezahlt wird, trägt währenddessen Zinsen. Und diese Zinsen werden Ende Jahr zum übrigen Kapital hinzu geschlagen.

Deshalb ist die Berechnung des Rentenbarwertes weniger einfach, als dies bei den oben beschriebenen einfachen Investitionen – wo das Kapital während der gesamten Laufzeit liegenbleibt – der Fall ist. Der Barwert wird mit Hilfe des Rentenbarwert-Faktors kalkuliert.

 Berechnung des Rentenbarwertes

Die allgemeine Formel für den Rentenbarwert-Faktor lautet:

Rentenbarwertfaktor nachschüssig: (qn – 1) / (qn x i)

  • i: Zinssatz, zum Beispiel 0,04
  • q: 1+i, zum Beispiel 1,04
  • n: Anzahl Perioden, zum Beispiel 5 Jahre

Der Barwert B einer Rente R zu einem Zinssatz i beträgt also:

B = R x (qn – 1) / (qn x i)

Hier ein Beispiel: Ein Investor möchte nach einer einmaligen Einzahlung während 5 Jahren jedes Jahr 20.000 Euro erhalten. Wie hoch muss seine Einzahlung sein, wenn der Zinssatz 4 % beträgt?

  • i = 0,04
  • q=1,04
  • n= 5

Rentenbarwertfaktor: (1,045 – 1) / (1,045 x 0.04) = 4,63

Einzahlung = Rente x Rentenbarwertfaktor = 20.000 Euro x 4,63 = 89.036,85 Euro

 Vorschüssiger Rentenbarwert

Bisher sind wir davon ausgegangen, dass der “Zins” bzw. die “Rente” jeweils Ende des Jahres fällig wird. Es gibt aber Situationen, in denen die Rente zu Beginn der Periode geschuldet wird. Ein typisches Beispiel dafür sind Mietzinsen.

Die Formel für den vorschüssigen Rentenbarwertfaktor weicht nur geringfügig vom nachschüssigen ab: Beim zweiten Potenz-Ausdruck vermindert sich die Potenz um 1:

Rentenbarwertfaktor vorschüssig: (qn – 1) / (qn-1 x i)

Beispiel

Wie hoch ist der Barwert eines Mietzinses von monatlich 1.000 Euro (jeweils fällig zu Beginn des Monats) während 10 Jahren, wenn ein Zinssatz von 5 % angenommen wird?

  • Zins i = 0,05/12 = 0,00417 (Umrechnung auf Monate)
  • q = 1,00417
  • n = 120 (10 Jahre à 12 Monate)

Vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: (1,00417120-1) / (1,00417119 x 0,00417) = 94,674

Barwert = 1.000 Euro x 94,674 = 94.674,19 Euro

Mit anderen Worten: Wenn der Mieter diese gesamte Miete (monatlich 1.000 Euro) für 10 Jahre auf einmal zu Beginn des Mietverhältnisses begleichen würde, müsste er (bei einer jährlichen Verzinsung von 5 %) rund 94.675 Euro bezahlen. Dies entspräche einer Kostenreduktion von über 25.000 Euro gegenüber der normalen Monatsmiete (12 x 1.000 Euro x 10 Jahre = 120.000 Euro). Vorausgesetzt, der Zinssatz von 5 % ist realistisch.

Formeln zum Rentenbarwert

Rentenbarwert vorschüssig: B = R x (qn – 1) / (qn-1 x i)

Rentenbarwert nachschüssig: B = R x (qn – 1) / (qn x i)

R=Rente,i = Zinssatz, q=1+i, n=Anzahl Perioden

Generell lässt sich der Barwert einer einmaligen Zahlung oder auch von Zahlungsreihen (d. h. mehrmaligen aufeinanderfolgenden Zahlungen) errechnen. Im einfachsten Fall ist der Barwert einer einzigen Zahlung zu ermitteln, sodass Zahlungsreihen nicht nötig sind. Zahlungsreihen sind immer in gleichen zeitlichen Abständen zu bezahlen. Folgenden Daten braucht man, um den Barwert zu ermitteln:Berechnung von Rente und Anleihenpreis

  • die Höhe der zukünftigen Zahlung,
  • die Zeit, zu der die Zahlung fließt, gerechnet ab heute (normalerweise in Jahren) sowie
  • den Zinssatz, mit dem die Zahlung abgezinst wird.

Darüber hinaus besteht eine häufige Anwendung der Barwertformel darin, den Preis einer festverzinslichen Anleihe unter Verwendung der Rendite zu berechnen. Außerdem spielt die Barwertmethode auch in der Rentenberechnung eine entscheidende Rolle.

Abzinsung

Die Abzinsung (auch Diskontierung bzw. abzinsen) ist eine Rechenoperation zur Ermittlung des Barwertes bzw. des gegenwärtigen Wertes. Außerdem kann mithilfe der Abzinsungsmethode der Wert einer zukünftigen Zahlung für einen Zeitpunkt, der vor dem der Zahlung liegt, berechnet werden. Das Abzinsen berechnet demnach

  1. den Barwert (d.h. den heutigen Wert zukünftiger Zahlungen) und
  2. das Anfangskapital eines gegebenen Endkapitals.

Nachschüssige Rente und vorschüssige Rente

Beim Barwert einer Rente ist zu unterscheiden, ob es sich um eine vorschüssige oder eine nachschüssige Rente handelt:

  • Vorschüssige Rente: Die Rente wird jeweils zu Beginn einer Periode fällig.
  • Nachschüssige Rente: Die Rente wird jeweils am Ende einer Periode fällig.

Unterschied zwischen Rentenbarwert und Rentenendwert?

Der Rentenendwert ist gewissermaßen das Gegenteil des Rentenbarwertes:

Rente

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  • Rentenbarwert: Hier zahlt der Investor ein Kapital ein und erhält eine periodische Rente zurück. Der Rentenbarwert entspricht der Höhe dieses Kapitals zu Beginn der (Rest-)Laufzeit.
  • Rentenendwert: Hier zahlt der Investor periodisch einen Betrag ein, der verzinst wird. Der Rentenendwert entspricht der Höhe des Kapitals am Ende der (bisherigen) Laufzeit.

Rentenbarwert vs. Rentenendwert

Was ist der Unterschied zwischen Rentenbarwert und Annuität?

Die Annuität ist nichts anderes als die „Rente, welche mit einem anfänglichen Kapital (dem „Barwert) erzielt werden kann. Sie stellt also lediglich einen anderen Blickwinkel des Rentenbarwertes dar.

Grundlage: Der Zeitwert des Geldes

Geld, das ich heute besitze, ist mehr wert als Geld, welches ich erst in zwei Jahren kriege. Denn der Kapitalwert, den ich besitze, kann ich gewinnbringend anlegen.

Dieser Gedanke ist die Grundlage für die Barwert-Berechnungen.

Hier ein kleines Beispiel:

Ein Anlagen-Käufer vereinbart, den Kaufpreis der Investition von 50.000 Euro erst nach 1 Jahr (12 Monaten) zu bezahlen. Welcher Betrag entgeht dadurch dem Verkäufer?

Wenn man einen Jahreszins von 4 % zugrunde legt, sieht die Rechnung folgendermaßen aus:

  • Würde er den Kaufpreis von 50.000 Euro sofort erhalten, könnte er ihn mit einer Verzinsung von 4 % anlegen und hätte nach einem Jahr der Investition 2.000 Euro gewonnen und würde 52.000 Euro besitzen.

    Berechnung: 50.000 Euro x 1.04

    • Jahresanfang 50.000 Euro, Jahresende 52.000 Euro
  • Umgekehrt gerechnet: Wenn der Verkäufer nach einem Jahr 50.000 Euro erhält, ist dies gleichbedeutend wie eine Kapitalanlage von 50.000 / 1.04 = 48.076.90 Euro.
    • Jahresanfang 48.076.90 Euro, Jahresende 50.000 Euro

Diese Berechnung ist ziemlich einfach, da nur 1 Jahr (1 Periode) zu berechnen ist. Bei mehreren Perioden oder Periodenzahlungen kommt die Zinseszins-Rechnung zur Anwendung.

Zinseszins-Faktor

Wenn das Kapital mehrere Perioden lang verzinst und der Zins jeweils zum Kapital addiert wird, potenziert sich der Zinsfaktor.

Beispiel:

  1. Jahr: 50.000 Euro verzinst mit 4 % = 52.000 Euro am Ende des Jahres
  2. 50.000 Euro verzinst mit 4 % = 54.080 Euro

Formel für den Zinsfaktor: (1+i)n

  • i: Zinssatz, zum Beispiel 0,04 (Hinweis: Gemeint ist immer der Jahreszins)
  • n: Anzahl Perioden, zum Beispiel 2 Jahre
  • Formel: „(1 plus i) hoch n, in unserem Beispiel (1,04)2

Annuitätenberechnung

Wie viel Rente kann ich jährlich beziehen, wenn ich einen bestimmten Kapitalwert einzahle? Diese Frage entspricht der „Umkehrung der Rentenbarwert-Berechnung und funktioniert daher mit derselben Formel für den Rentenbarwert-Faktor. Der einzige Unterschied liegt darin, wie der Rentenbarwert-Faktor in die Berechnung eingefügt wird.

Hier ein Beispiel:

  • Barwert B = 50.000 Euro
  • Laufzeit n = 5 Jahre
  • Zinssatz i = 5 %
  • Frage: Wie hoch ist die jährliche Rente R (bei vorschüssiger Rente)

Formel für den vorschüssigen Rentenbarwertfaktor:

(1,055-1) / (1,054 x 0,05) = 4,546

Rente R = 50.000 Euro / 4,546 = 10.998,68 Euro

Der Investor kann also pro Jahr rund 11.000 Euro beziehen.

Tipp

Bei Rentenrechnungen ist die Annuität dasselbe wie die Rente.

Rentenbarwert bei der ewigen Rente

Wenn die Rente nicht auf eine bestimmte Anzahl Jahre begrenzt ist („Zeitrente), sondern endlos weiterläuft, ist die Berechnung des Rentenbarwertes denkbar einfach:

Rentenbarwert bei ewiger Rente = Rente dividiert durch Zinssatz

Als Formel: Rentenbarwert (B) = R / i

  • R: Rente
  • i: Zinssatz

Beispiel: Wie hoch ist der Barwert einer ewigen Rente von 2.000 Euro bei einem Zinssatz von 4 %?

Berechnung: 2.000 / 0.04 = 50.000 Euro

Anders ausgedrückt: Wenn man 50.000 Euro zu 4% verzinst, kann man jedes Jahr 2.000 Euro abheben, ohne dass das Kapital schmilzt.

Herleitung der Formel

Die Formel für den Barwert einer ewigen Rente lässt sich auch von der oben beschriebenen Formel für den Barwert einer Zeitrente herleiten:

Rentenbarwert (R) vorschüssig: B = R x (qn – 1) / (qn-1 x i)

Bei einer ewigen Rente geht n (Anzahl Perioden) gegen unendlich, entsprechend wird auch qn unendlich groß. Deshalb verschwindet der Einfluss der markierten Formelbestandteile:

(qn – 1) / (qn-1 x i) und die Formel verkürzt sich zu: qn / (qn x i) = r / i.

Tipp

Die ewige Rente ist eine periodische (jährliche) Zinszahlung, bei der das Kapital nicht angetastet wird.

Barwert bei der ewigen Rente

Fazit

Als Rentenbarwert bezeichnet man das Anfangskapital, welches nötig ist, um eine zukünftige Rente unter Rücksichtsnahme von Zinsen über einen bestimmten Zeitraum zu bekommen.

Um zu berechnen, wie hoch der anfängliche Kapitaleinsatz sein muss, um für eine bestimm­te Zeitperiode eine bestimmte Rente/ Zinszahlung zu erhalten, wird der Rentenbarwert-Faktor verwendet. Dabei muss unterschieden werden, ob es sich um eine nachschüssigen und eine vorschüssigen Rente handelt, um den Wert zu berechnen.


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David Gerginov
Von: David Gerginov. Über den Autor

David Gerginov publizierte unter anderem zum Thema Schuldenbremse und beschäftigt sich heute mit allen Fragen rund um Wirtschaft, Politik und Finanzen.

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